Introduction
La théorie des ensembles est le socle conceptuel des mathématiques contemporaines. Elle propose une approche unificatrice en définissant tous les objets mathématiques (nombres, fonctions, espaces géométriques) comme des ensembles ou des constructions à partir d'ensembles. Son objectif est de formaliser la notion intuitive de 'collection' d'objets distincts, appelés éléments, et d'étudier leurs propriétés et leurs relations à l'aide d'un langage logique précis.
Description
La théorie repose sur un petit nombre de concepts primitifs (l'ensemble, l'appartenance d'un élément à un ensemble) et des axiomes qui régissent leur manipulation. Les opérations fondamentales sont l'union, l'intersection, la différence et le complémentaire. Elle permet de définir des relations (comme l'inclusion) et des fonctions comme des ensembles particuliers de couples d'éléments. Un apport majeur est la classification des infinis : un ensemble est dit dénombrable s'il peut être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels (comme les entiers relatifs ou les rationnels), tandis que l'ensemble des nombres réels est un exemple d'infini non dénombrable, strictement plus 'grand'. La théorie distingue différents 'niveaux' d'infini, les alephs, via la notion de cardinalité. Elle explore aussi les structures ordonnées, comme les bons ordres, et des objets paradoxaux en apparence, comme l'ensemble de tous les ensembles, dont l'existence mène à des contradictions (paradoxes).
Histoire
Les idées ensemblistes émergent au XIXe siècle avec les travaux de Georg Cantor (1845-1918), qui ose étudier l'infini en acte et développe la théorie des cardinaux transfinis, rencontrant une forte opposition. Les paradoxes découverts à la fin du siècle (comme le paradoxe de Russell en 1901 sur 'l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-mêmes') révèlent les limites d'une approche naïve. Pour les résoudre, des systèmes axiomatiques stricts sont proposés au début du XXe siècle. Le plus célèbre est la théorie ZF (Zermelo-Fraenkel), formulée par Ernst Zermelo et Abraham Fraenkel, souvent complétée par l'axiome du choix (ZC). L'axiome du choix, controversé car non constructif, postule que pour toute famille d'ensembles non vides, on peut choisir un élément dans chacun pour former un nouvel ensemble. L'hypothèse du continu, énoncée par Cantor et concernant la taille du continu réel, s'est avérée indécidable dans ZFC (ni prouvable ni réfutable), comme l'a démontré Paul Cohen en 1963.
Caracteristiques
1. **Langage formel** : Utilise un symbolisme précis (∈, ⊂, ∪, ∩, ∅) et s'exprime dans le cadre de la logique du premier ordre. 2. **Approche axiomatique** : Se présente comme un système d'axiomes (ZF, ZFC, NBG) visant à éviter les paradoxes. 3. **Fondation des mathématiques** : La plupart des concepts mathématiques peuvent être 'codés' en termes d'ensembles (ex: le nombre 0 est l'ensemble vide, 1 est l'ensemble contenant l'ensemble vide, etc.). 4. **Étude de l'infini** : Offre un cadre rigoureux pour comparer et manipuler différentes 'tailles' d'infini. 5. **Indécidabilité** : Certaines propositions célèbres, comme l'hypothèse du continu, sont indépendantes des axiomes usuels, révélant les limites intrinsèques de la formalisation.
Importance
La théorie des ensembles est d'une importance capitale. Elle constitue le fondement standard sur lequel sont bâties les mathématiques modernes, assurant leur cohérence et leur unité. En logique et en informatique théorique, elle est essentielle pour la théorie de la calculabilité, la théorie des modèles et la sémantique des langages de programmation. En analyse, en algèbre et en topologie, son langage est omniprésent. Les questions qu'elle soulève (axiome du choix, hypothèse du continu) touchent à la philosophie des mathématiques et à la nature de la vérité mathématique. Son influence s'étend également à la physique théorique, notamment en cosmologie pour discuter de la structure de l'univers.
