Introduction
Le théorème de Pythagore est l'un des résultats mathématiques les plus célèbres et les plus utilisés au monde. Il constitue la pierre angulaire de la géométrie plane et trouve des applications innombrables, de l'architecture à la physique, en passant par la navigation et l'informatique. Sa simplicité formelle masque une profondeur conceptuelle et une histoire riche, bien antérieure au philosophe et mathématicien grec dont il porte le nom.
Description
Le théorème s'énonce ainsi : dans un triangle rectangle (un triangle possédant un angle de 90 degrés), le carré de la longueur de l'hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l'angle droit) est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, appelés cathètes. Si on note 'a' et 'b' les longueurs des cathètes, et 'c' la longueur de l'hypoténuse, la relation s'écrit : a² + b² = c². Cette équation permet de calculer la longueur d'un côté si l'on connaît les deux autres. Par exemple, si un triangle a des côtés de 3 et 4 unités formant l'angle droit, son hypoténuse mesure √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 unités. Le triplet (3, 4, 5) est un exemple de 'triplet pythagoricien'. Le théorème admet également une réciproque : si dans un triangle, le carré d'un côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle (l'angle droit étant opposé au plus grand côté).
Histoire
La connaissance de la relation entre les côtés d'un triangle rectangle était bien antérieure à Pythagore de Samos (vers 580 - 495 av. J.-C.). Des tablettes babyloniennes, comme la tablette Plimpton 322 (vers 1800 av. J.-C.), montrent des listes de triplets pythagoriciens, prouvant une compréhension pratique de la relation. En Égypte antique, la corde à 13 nœuds (divisée en 12 intervalles égaux) était utilisée par les arpenteurs pour tracer un angle droit en formant un triangle de côtés 3, 4 et 5. L'apport de l'école pythagoricienne fut probablement d'en donner la première démonstration géométrique générale et rigoureuse, l'intégrant dans un cadre théorique. La preuve la plus ancienne qui nous soit parvenue se trouve dans les 'Éléments' d'Euclide (Livre I, Proposition 47), écrite environ 300 ans après Pythagore. Elle repose sur des raisonnements géométriques sur les aires des carrés construits sur les côtés. Depuis, des centaines de démonstrations différentes ont été proposées, y compris une par Léonard de Vinci et une par le président américain James Garfield.
Caracteristiques
Le théorème de Pythagore possède plusieurs caractéristiques fondamentales. 1) Il est spécifique aux triangles rectangles dans le plan euclidien (géométrie 'plate'). 2) Il établit un lien fondamental entre la géométrie (les longueurs des côtés) et l'algèbre (l'équation a² + b² = c²). 3) Il est à la base de la notion de distance euclidienne. En effet, dans un plan muni d'un repère orthonormé, la distance entre deux points de coordonnées (x₁, y₁) et (x₂, y₂) est donnée par √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), ce qui est une application directe du théorème. 4) Il ne s'applique pas dans les géométries non-euclidiennes (comme la géométrie sur une sphère), où il est remplacé par d'autres relations trigonométriques. 5) Les triplets pythagoriciens (nombres entiers a, b, c vérifiant a² + b² = c²) forment un sujet d'étude riche en théorie des nombres.
Importance
L'importance du théorème de Pythagore est immense et transversale. En mathématiques, c'est un outil indispensable en géométrie, en trigonométrie (il est à la base de l'identité fondamentale sin²θ + cos²θ = 1) et en analyse. En physique et en ingénierie, il est utilisé pour calculer des grandeurs vectorielles (composantes d'une force, d'une vitesse), pour déterminer des distances inaccessibles (topographie, astronomie), et en mécanique. En informatique, il est crucial pour le rendu graphique, les jeux vidéo (calculs de collisions, d'éclairage) et le traitement d'image. Culturellement, il symbolise la puissance de la raison et de la démonstration mathématique. Son énoncé simple et sa vérité universelle en ont fait un emblème de la science et de la logique à travers les siècles.
