Introduction
Les théorèmes d'incomplétude de Gödel constituent l'une des avancées les plus profondes et déroutantes de la logique mathématique du XXe siècle. Ils imposent des limites fondamentales à ce que les mathématiques formalisées peuvent atteindre, brisant le rêve d'un système axiomatique complet et définitif pour toute la mathématique, tel que le programme de Hilbert l'envisageait. Ces résultats ont des résonances en mathématiques, en informatique théorique, en philosophie et même dans la réflexion sur l'intelligence artificielle.
Description
Le **Premier Théorème d'Incomplétude** stipule que dans tout système formel cohérent et suffisamment puissant pour contenir l'arithmétique élémentaire (comme les axiomes de Peano), il existe des propositions qui sont vraies mais indémontrables à l'intérieur du système. Le système est dit 'incomplet'. Gödel a construit une telle proposition, notée G, qui affiche essentiellement sa propre indémontrabilité : 'G' signifie 'G n'est pas démontrable dans le système'. Si G était faux, elle serait démontrable, ce qui contredirait la cohérence. Donc G est vraie, mais précisément parce qu'elle affirme sa propre indémontrabilité, elle ne peut être démontrée. Le **Deuxième Théorème d'Incomplétude** en est un corollaire : un tel système cohérent ne peut pas démontrer sa propre cohérence. La proposition exprimant la cohérence du système (souvent notée Con(S)) est un exemple d'énoncé vrai mais indémontrable dans le système, si celui-ci est effectivement cohérent. La démonstration repose sur une ingénieuse technique d'arithmétisation de la syntaxe (les 'nombres de Gödel'), qui permet de traduire des énoncés sur les démonstrations en énoncés arithmétiques.
Histoire
Le contexte est le 'Programme de Hilbert', lancé par David Hilbert dans les années 1920, qui visait à fonder les mathématiques sur une base axiomatique solide et complète, et à prouver la cohérence des mathématiques par des méthodes 'finitaire' incontestables. En 1931, le jeune logicien autrichien Kurt Gödel, alors âgé de 25 ans, publie son article révolutionnaire 'Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme' (Sur les propositions formellement indécidables des Principia Mathematica et des systèmes apparentés). Les résultats, présentés lors d'une conférence à Königsberg en 1930, ont d'abord été accueillis avec stupéfaction et scepticisme, mais leur rigueur finit par s'imposer. Ils sonnent le glas des espoirs du programme de Hilbert dans sa forme la plus ambitieuse.
Caracteristiques
1. **Condition de puissance** : Les théorèmes s'appliquent aux systèmes 'suffisamment puissants', c'est-à-dire capables d'exprimer l'arithmétique de base (addition, multiplication, les nombres naturels). Des systèmes plus faibles (comme la géométrie euclidienne ou l'arithmétique de Presburger) peuvent être complets et cohérents. 2. **Auto-référence** : Le cœur de la preuve est l'utilisation d'un énoncé auto-référentiel, rendue possible par l'arithmétisation. 3. **Distinction vérité/démontrabilité** : Ils établissent une distinction cruciale et irréductible entre la vérité (sémantique) et la démontrabilité (syntaxique) dans les systèmes formels. 4. **Cohérence** : Les théorèmes supposent la cohérence du système. Un système incohérent peut 'prouver' n'importe quoi, et est donc trivialement complet mais inutile.
Importance
L'impact est immense et multidisciplinaire. En **logique et fondements des mathématiques**, il a redéfini le champ, montrant l'impossibilité d'une axiomatisation complète et d'une preuve de cohérence 'interne'. En **informatique théorique**, il est lié au problème de l'arrêt de Turing et aux limites de la calculabilité. En **philosophie**, il alimente les débats sur le mécanisme, l'esprit et la nature de la connaissance mathématique (certains y voyant un argument contre la réduction de la pensée à un calcul). En **physique théorique**, des analogies sont parfois dressées avec les limites de la connaissance en théorie quantique ou en cosmologie. Il a aussi une influence culturelle, devenant un symbole de l'incomplétude et des limites de la raison systématique.
