Introduction
Le calcul infinitésimal est l'outil mathématique par excellence pour modéliser et analyser les phénomènes dynamiques et continus. Développé au XVIIe siècle, il a révolutionné la science en fournissant un langage précis pour décrire le mouvement, la croissance, l'optimisation et les aires sous les courbes. Il constitue le fondement de la physique moderne, de l'ingénierie, de l'économie et de nombreuses autres disciplines scientifiques.
Description
Le calcul se structure autour de deux opérations inverses l'une de l'autre. Le calcul différentiel se concentre sur la notion de dérivée. La dérivée d'une fonction en un point mesure le taux de variation instantané de cette fonction, c'est-à-dire la pente de la tangente à sa courbe représentative. Formellement, elle est définie comme la limite du taux d'accroissement (f(x+h)-f(x))/h lorsque h tend vers zéro. Cela permet d'étudier la vitesse, l'accélération, les extremums (maximums et minimums) et la concavité des fonctions. Le calcul intégral, quant à lui, concerne l'intégrale, qui généralise les notions de somme, d'aire, de volume et de moyenne. L'intégrale définie d'une fonction positive sur un intervalle représente l'aire sous la courbe de cette fonction. Le lien profond entre ces deux branches est établi par le théorème fondamental du calcul, qui énonce que la dérivation et l'intégration sont des opérations inverses. Autrement dit, si une fonction est l'intégrale d'une autre, alors sa dérivée est la fonction d'origine. Ce théorème permet de calculer des intégrales de manière algébrique plutôt que par des limites de sommes complexes.
Histoire
Les prémices du calcul remontent aux Grecs anciens (méthode d'exhaustion d'Archimède) et à des mathématiciens comme Pierre de Fermat au XVIIe siècle. Cependant, sa création est attribuée de manière indépendante et quasi simultanée à Isaac Newton (1642-1727) et Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Newton développa sa théorie des 'fluxions' vers 1666, principalement pour résoudre des problèmes de physique concernant le mouvement et la gravitation. Leibniz, de son côté, publia ses travaux vers 1684, en introduisant une notation (dx, dy, ∫) bien plus claire et puissante que celle de Newton, notation qui est encore utilisée aujourd'hui. Cette paternité double donna lieu à une controverse acharnée et nationaliste entre mathématiciens britanniques et continentaux, qui freina le développement des mathématiques en Angleterre. Au XVIIIe et XIXe siècles, des mathématiciens comme les frères Bernoulli, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange et Augustin-Louis Cauchy apportèrent des contributions majeures, formalisant rigoureusement les concepts de limite, de continuité et d'intégrale, donnant au calcul ses fondements solides.
Caracteristiques
Les caractéristiques principales du calcul infinitésimal sont : 1) L'utilisation centrale de la notion de limite, qui permet de donner un sens rigoureux aux concepts de 'tend vers zéro' ou 'tend vers l'infini'. 2) Le dualisme dérivée/intégrale, unis par le théorème fondamental. 3) Son applicabilité universelle à tout système modélisable par des fonctions continues ou différentiables. 4) Sa puissance pour résoudre des problèmes d'optimisation (trouver le meilleur rendement, le coût minimal, etc.) via l'étude des dérivées. 5) Sa capacité à traiter des quantités variables et leurs relations, formant le cœur de l'analyse mathématique. 6) Le développement subséquent du calcul multivarié (fonctions à plusieurs variables), du calcul vectoriel et des équations différentielles.
Importance
L'importance du calcul infinitésimal est difficile à surestimer. Il est le langage de la science classique. En physique, il est indispensable pour formuler les lois du mouvement de Newton, la théorie de la gravitation, l'électromagnétisme de Maxwell, la mécanique quantique et la relativité. En ingénierie, il permet de concevoir des structures, d'analyser des circuits électriques et de modéliser des flux. En économie, il sert à calculer les coûts marginaux et les maximisations de profit. En biologie, il modélise la croissance des populations et la diffusion des maladies. En informatique, il sous-tend les algorithmes d'apprentissage automatique (descente de gradient). Son invention marque le début des mathématiques modernes et a été un catalyseur essentiel de la révolution scientifique et technologique des derniers siècles.
